אלגעברע

אלגעברע (שטאמט פון אראביש: أَلْجَبْر "אַל-דזשאַבער" וואס מיינט "די טוישונג") איז א געביט אין מאטעמאטיק וואס באהאנדלט אפעראטארן, פונקציעס און רעלאציעס אין געוויסע סטרוקטורן. אין אלגעמיין, באהאנדלט אלגעברע מיט פארשידענע סימבאלן אנשטאט אדער געמישט מיט נומערן.

פראבלעמען אין עלעמענטארע אלגעברע לייזט מען אויס דורך גלייכונגען.

אלגעברא פארנעמט זיך מיט די פאלגנדיגע טעמעס:

עלעמענטארע אלגעברע
לינעארע אלגעברע
קלאסישע אלגעברע
אבסטראקטע אלגעברע, וואס באהאנדלט אלגעברעישע סטרוקטורן, ווי גרופעס, רינגען און פעלדער.

עלעמענטארע אלגעברע איז אנדערש פון אריטמעטיק, וואס האנדלט מיט נומערן. עלעמענטארע אלגעברע ניצט בוכשטאבן פאר נומערן וואס זענען אדער אומבאוואוסט אדער קענען האבן מערערע ווערטן. צום ביישפיל, אין דער גלייכונג $x+2=5$ איז דער אות $x$ אן אומבאוואוסטער ווערט, אבער מען קען דערגיין זיין ווערט מיט דעם געזעץ פון אינווערסן: $x=3$ . אין דער גלייכונג E = mc², זענען די בוכשטאבן $E$ און $m$ וואריאבלען, און דער בוכשטאב $c$ איז א קאנסטאנט וואס באדייט די גיך פון ליכט אין א וואקואום. אלגעברע פארזארגט מעטאדן צו שרייבן פארמלען און לייזן גלייכונגען וואס זענען קלארער ווי דער היסטארישער מעטאד פון שרייבן אלץ מיט ווערטער.

עלעמענטארע אלגעברע ווערט ברייכט בארעכענט שטארק נייטיק כדי צו שטודירן מאטעמאטיק, וויסנשאפט אדער אינזשעניריע, און אויך פאר אנדערע דיסציפלינען ווי מעדיצין און עקאנאמיק.

עטימאלאגיע

דאס ווארט "אלגעברע" איז לאטיין פונעם אראביש ווארט "אַל־דזשאַבר" ("אָפגיסן") און איז גענומען פונעם מאטעמאטיק בוך אל־מאקאלא פֿי היסאב־אל דזשאבר ווא־אל־מוקאבילאה ("עסיי וועגן דער קאמפוטאציע פון אפגיסן און גלייכונג"), געשריבן אינעם 9טן יארהונדערט דורכן בארימטן פערסישער מאטעמאטיקער אל־כוואריזמי, וואס האט געבליט אין באגדאד אין די יארן 813-833, און איז געשטארבן אין 840. מ'האט געברענגט דאס בוך קיין אייראפע און געהאט עס איבערגעזעצט אויף לאטיין אינעם 12טן יארהונדערט; מען האט געגעבן דאס בוך דעם נאמען 'אלגעברע'.

אלגעברע: א צווייג פון מאטעמאטיק

אלגעברע האט אנגעהויבן מיט קאמפוטאציעס גאנץ ענדלעך צו די קאמפוטאציעס פון אריטמעטיק, אבער מיט בוכשטאבן אנטשטאט נומערן.^[1] דאס האט דערלויבט באווייזן פון אייגנשאפטן וואס זענען וואר פאר אלע נומערן. למשל, אין דער קוואדראטישער גלייכונג

ax^{2}+bx+c=0,

קענען $a,b,c$ רעפרעזענטירן נארוועלכע נומערן (בתנאי אז $a$ טאר נישט זיין גלייך צו $0$ ), דעמאלסט קען מען ניצן די קוואדראטישע פארמל צו דערגיין גאנץ גיך און גרינג די ווערטן פון דעם אומבאוואוסטן קוואנטיטעט $x$ וואס באפרידיקט די גלייכונג; ד״ה מען קען געפינען אלע לייזונגען פון דער גלייכונג.

היסטאריש, און אויך היינט ביים אויסלערנען, הייבט אן די שטודיע פון אלגעברע מיט לייזן גלייכונגען אזוי ווי די קוואדראטישע גלייכונג אויבן. דערנאך, קלערט מען מער אלגעמיינע פראגעס, ווי למשל "צי האט א גלייכונג א לייזונג?", "וויפיל לייזונגען האט א גלייכונג?", "וואס קען מען זאגן וועגן דער נאטור פון די לייזונגען?". די פראגעס ברענגען צו באגריפן פון פארעם, סטרוקטור און סימעטריע.^[2] די דאזיקע אנטוויקלונג האט געלאזט אלגעברע צו ווערן פארברייטערט צו באטראכטן נישט־נומערישע אביעקטן, ווי וועקטארן, מאטריצעס און פאלינאמען. די סטרוקטור אייגנשאפטן פון די דאזיקע נישט-נומערישע אביעקטן האט מען אבסטראקטירט צו דעפינירן אלגעברעישע סטרוקטורן ווי גרופעס, רינגען און פעלדער.

פֿאַרן 16טן יארהונדערט איז מאטעמאטיק געווען צעטיילט אין צוויי געביטן, אריטמעטיק און געאמעטריע. כאטש טייל מעטאדן וואס זענען אנטוויקלט געווארן א סך פריער ווערן גערעכענט היינט ווי אלגעברע, אבער באטראכטן אלגעברע און, קורץ דערנאך, קאלקולוס ווי געביטן פון מאטעמאטיק האט אנגעהויבן ערשט אין דעם 16טן אדער 17טן יארהונדערט. זייט דעם צווייטן העלפט פונעם 19טן יארהונדערט האבן זיך באוויזן פיל נייע פעלדער פון מאטעמאטיק, מערסטנס וואס ניצן סיי אריטמעטיק און סיי געאמעטריע, און כמעט אלע וואס ניצן אלגעברע.

היינט, איז אלגעברע געוואקסן ביז זי שליסט איין פיל צווייגן פון מאטעמאטיק, וואס מען קען דערקענען פון דער מאטעמאטיק סוביעקט קלאסיפיקאציע,^[3] וואו קיינע פון די ערשטער־ניווא געביטן (די מיט צוויי ציפערן) ווערט גערופן אלגעברע. היינט שליסט איין אלגעברע טיילן , 12-פעלד טעאריע און פאלינאמען, , 13-קאמוטאטיווע אלגעברע, 15-לינעארע און מולטילינעארע אלגעברע; מאטריקס טעאריע, 16-אסאציאטיווע רינגען און אלגעברעס, 17-נישט-אסאציאטיווע רינגען און אלגעברעס, 18- קאטעגאריע טעאריע; האמאלאגישע אלגעברע, 19-K- טעאריע און 20-גרופע טעאריע. אלגעברע ווערט אויך ברייט געניצט אין 11- נומערן טעאריע און 14- אלגעברעאישע געאמעטריע .

אבסטראקטע אלגעברע

אבסטראקעט אלגעברע פארברייטערט באגריפן וואס מען טרעפט אין עלעמנטארער אלגעברע און אריטמעטיק צו מער אלגעמיינע באגריפן. דא זענען די גרונטלעכע באגריפן און אבסטראקטער אלגעברע.

געזעמלען: ליבערשט ווי באטראכטן די פארשידענע סארטן צאלן, באהאנדלט אבסטראקטע אלגעברע דעם מער אלגעמיינעם באגריף פון געזעמלען: א זאמלונג פון אלע אביעקטן (וואס מען רופט עלעמענטן) געקליבן מיט אן אייגנשאפט ספעציפיש צום געזעמל. למשל, די זאמלונגען פון רעאלע צאלן און קאמפלעקסע צאלן זענען ביידע געזעמלען. אנדערע ביישפילן זענען דער געזעמל פון צוויי־אויף־צוויי מאטריצן, דער געזעמל פון צווייטער־גראד פאלינאמען (ax² + bx + c), דער געזעמל פון צוויי־דימענסיאנעלע וועקטארן אין דעם פלוין, און די פארשידענע ענדלעכע גרופעס ווי למשל די ציקלישע גרופעס. געזעמלען טעאריע איז עכט א צווייג פון לאגיק און טעכניש נישט קיין צווייג פון אלגעברע.

בינארישע אפעראציעס: דער באגריף פון צוגאב (+) ווערט אבסטראקטירט צו שאפן א בינארישע אפעראציע, וואס מען קען שרייבן ∗ . דער באגריף פון בינארישער אפעראציע האט נישט קיין באדייט אן דעם געזעמל אויף וואס די אפעראציע ווערט דעפינירט. פאר צוויי עלעמענטן a און b אין א געזעמל S, איז a ∗ b נאך אן עלעמענט אין דעם זעלבן געזעמל; דעם תנאי רופטו מען פארשלאסנקייט. צוגאב (+), אראפנעם (−), טאפלען (×), און צעטיילן (÷) קענען זיין בינארישע אפעראציעס ווען זיי זענען דעפינירט אויף פארשידענע געזעמלען, ווי אויך צוגאב און טאפלונג פון מאטריצן, וועקטארן און פאלינאמען.

נייטראלע עלעמענטן: די צאלן נול און איינס ווערן אבסטראקטירט צו שאפן דעם באגריף פון א נייטראלן עלעמענט פאר אן אפעראציע. נול איז דער נייטראלער עלעמענט פאר צוגאב און איינס איז דער נייטראלער עלעמענט פאר טאפלען. פאר אן אלגעמיינעם בינארישן אפעראטאר ∗ דארף דער נייטראלער עלעמענט e באפרידיקן a ∗ e = a און e ∗ a = a פאר אלע עלעמענטן a און איז איינציק, טאמער ער עקזיסטירט. ביי צוגאב האט מען a + 0 = a און 0 + a = a און ביי טאפלען האט מען a × 1 = a און 1 × a = a. נישט אלע קאמבינאציעס פון געזעמלען און אפעראטארן האבן א נייטראלן עלעמענט; למשל, דאס געזעמל פון פאזיטיווע נאטירלעכע צאלן (1, 2, 3, ...) האט נישט קיין נייטראלן עלעמענט פאר צוגאב.

אינווערסע עלעמענטן: פון די נעגאטיווע צאלן קומט דער באגריף פון אינווערסע עלעמענטן. פאר צוגאב, ווערט דער אינווערס פון a געשריבן −a, און פאר טאפלען שרייבט מען דעם אינווערס a⁻¹. אן אלגעמיינער צוויי־זייטיקער אינווערס עלעמענט a⁻¹ באפרידיקט דעם אייגנשאפט a ∗ a⁻¹ = e און a⁻¹ ∗ a = e, וואו e באצייכענט דעם נייטראלן עלעמענט.

אסאציאטיוויטעט: צוגאב פון גאנצע צאלן באפרידיקט דעם אייגנשאפט אסאציאטיוויטעט. ד״ה, דאס גרופירן פון די צאלן וואס מען גייט צוגעבן טוט נישט באאיינפלוסן דעם רעזולטאט. למשל: (2 + 3) + 4 = 2 + (3 + 4). אין אלגעמיין, ווערט דאס (a ∗ b) ∗ c = a ∗ (b ∗ c). די דאזיקע אייגנשאפט איז גילטיק פאר גאר א סך בינארישע אפעראציעס, אבער נישט פאר אראפנעם אדער טיילונג.

קאמוטאטיוויטעט: צוגאב און טאפלען פון רעאלע צאלן זענען ביידע קאמוטאטיוו. ד״ה, דער סדר פון די צוויי צאלן איז נישט מעכב. למשל: 2 + 3 = 3 + 2. אין אלגעמיין, האלט a ∗ b = b ∗ a. די דאזיקע אייגנשאפט האלט נישט גוט פאר אלע בינארישע אפעראציעס. למשל, מאטריץ-טאפלונג און קוואטערניאן-טאפלונג זענען ביידע נישט־קאמוטאטיוו.

גרופעס

זעט דעם הויפּט אַרטיקל – גרופע (מאטעמאטיק)

ווען מען קאמבינירט די אויבנדערמאנטע באגריפן טרעפט איינע פון די וויכטיקסטע סטרוקטורן אין מאטעמאטיק: א גרופע. א גרופע איז א קאמיבאציע פון א געזעמל S מיט אן איינציגער בינארישער אפעראציע ∗, דעפינירט אין נארוועלכן וועג, מיט אבער די פאלגנדע אייגנשאפטן:

ס׳איז פאראן אין דעם געזעמל א נײטראַלער עלעמענט e, וואס פאר יעדן מיטגליד a פון S, e ∗ a און a ∗ e זענען ביידע גלייך צו a.
יעדער עלעמענט האט אן אינווערס: פאר יעדן מיטגליד a פון S, איז פאראן א מיטגליד a⁻¹ אזוי אז a ∗ a⁻¹ און a⁻¹ ∗ a זענען ביידע גלייך צום נייטראלן עלעמענט.
די אפעראציע איז אסאציאטיוו: ווען a, b און c זענען מיטגלידער פון S, דאן זענען (a ∗ b) ∗ c און a ∗ (b ∗ c) גלייך.

טאמער א גרופע איז אויך קאמוטאטיוו—ד״ה פאר יעדע צוויי מיטגלידער a און b פון S, איז a ∗ b גלייך צו b ∗ a—דאמאלסט ווערט די גרופע גערופן אבעליש.

רינגען און פעלדער

א רינג האט צוויי בינארישע אפעראציעס (+) און (×), מיט × דיסטריבוטיוו איבער +. אונטער דעם ערשטן אפעראטאר (+) איז ער אן אבעלישע גרופע. אונטער דעם צווייטן אפעראטאר (×) איז ער אסאציאטיוו, אבער דארף נישט האבן א נייטראלן עלעמענט אדער אינווערסן. דעם נייטראלן עלעמענט פון צוגאב (+) שרייבט מען 0 און דעם אינווערס פון a פאר צוגאב שרייבט מען −a.

דיסטריבוטיוויטעט גענעראליזרט דעם דיסטריבוטיוו-געזעץ פאר נומערן. פאר די גאנצע צאלן ‎(a + b) × c = a × c + b × c און c × (a + b) = c × a + c × b, און × ווערט גערופן דיסטריבוטיוו איבער +.

די גאנצע צאלן זענען א ביישפיל פון א רינג. די גאנצע צאלן האט נאך אייגשאפטן וואס צוזאמען מאכן זיי פאר אן אינטעגראלער געביט.

רעפערענצן

↑ Boyer 1991, "Europe in the Middle Ages" p. 258 "In the arithmetical theorems in Euclid's Elements VII-IX, numbers had been represented by line segments to which letters had been attached, and the geometric proofs in al-Khwarizmi's Algebra made use of lettered diagrams; but all coefficients in the equations used in the Algebra are specific numbers, whether represented by numerals or written out in words. The idea of generality is implied in al-Khwarizmi's exposition, but he had no scheme for expressing algebraically the general propositions that are so readily available in geometry."
↑ Gattengo, Caleb (2010). The Common Sense of Teaching Mathematics. Educational Solutions Inc.. ISBN 978-0878252206.
↑ 2010 Mathematics Subject Classification. דערגרייכט דעם 5טן אקטאבער 2014.

דער מאטעמאטישער ארטיקל איז א שטומף. דאס הייסט עס פעלן אין אים גרונטלעכע אינפארמאציע איבערן פארשטאנד פון דער טעמע. ביטע העלפֿט דאס פֿארברייטערן.

[citeboyer-1] Boyer 1991, "Europe in the Middle Ages" p. 258 "In the arithmetical theorems in Euclid's Elements VII-IX, numbers had been represented by line segments to which letters had been attached, and the geometric proofs in al-Khwarizmi's Algebra made use of lettered diagrams; but all coefficients in the equations used in the Algebra are specific numbers, whether represented by numerals or written out in words. The idea of generality is implied in al-Khwarizmi's exposition, but he had no scheme for expressing algebraically the general propositions that are so readily available in geometry."

[2] Gattengo, Caleb (2010). The Common Sense of Teaching Mathematics. Educational Solutions Inc.. ISBN 978-0878252206.

[3] 2010 Mathematics Subject Classification. דערגרייכט דעם 5טן אקטאבער 2014.

[1]

[2]

[3]