סינוס

דער סינוס איז אַ פּעריאָדישע פֿונקציע וואָס מען באַניצט אין מאַטעמאַטיק און פֿיזיק. דער אַרגומענט פֿונעם סינוס איז בכלל אַ רעאלע צאל, און דער ווערט פונעם סינוס ליגט צווישן 1- און 1+. פֿונדעסטוועגן, קען דער אַרגומענט זײַן אַ קאָמפּלעקסע צאָל.

די סינוס פֿונקציע איבר איין פּיריאָד.

טריגאָנאָמעטריע

אויף טריגאָנאָמעטריע ווערט דער סינוס דעפֿינירט דורכן גראָדווינקלדיקן דרײַעק. דער סינוס גלײַכט דעם וויפֿלער צווישן דער אַריכות פֿון דער זײַט להיפּוך דעם ווינקל און דער אַריכות פֿון דער היפּאָטענוז. אָט, איז sin(θ) די הייך פֿון אַ פּונקט אויף אַ קרײַז מיט אַ ווינקל θ אויב דער קרײַז האָט אַן איינעם ראַדיוס. דעסגלײַכן, דער קאָסינוס איז די ברייטקייט פֿון אָט דעם פּונקט. דערפֿאר, איז דער סינוס (און קאָסינוס) 2π פּעריאָדיש. דער סינוס און קאָסינוס געהערן אָן דורך דעם גלײַכונג:

$\sin(\pi /2-\theta )=\cos \theta$

דער סינוס (רויט) און דער קאָסינוס (בלוי) ווי פּונקטן אויף אַ קרײַז.

לויט דעם פּיטאַגאָראַס פּרינציפּ, די דרײַ זײַטן פֿון אַ גראָדווינקלדיקן דרײַעק (a, b, היפּאָטענוז: c) ווערן פֹאַרבונדן דורך דער גלײַכונג:

$a^{2}+b^{2}=c^{2}$

טאָ, די באַשרײַבונג דערויף באַווײַזט אַז

$\cos ^{2}\theta +\sin ^{2}\theta =1.$

קאַלקולוס

עס זײַנען דאָ עטלעכע פֿאָרמען פֿאַרן סינוס פֿון קאַלקולוס.

טיילאָרס ריי (אויף ענגליש: Taylor's Series):

${\begin{aligned}\sin(x)&=x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-{\frac {x^{7}}{7!}}+\cdots \\[8pt]&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n+1)!}}x^{2n+1}\\[8pt]\end{aligned}}$

אָנסופֿיקע בראָכצאָל (אויף ענגליש: Continued fraction):

$\sin(x)={\cfrac {x}{1+{\cfrac {x^{2}}{2\cdot 3-x^{2}+{\cfrac {2\cdot 3x^{2}}{4\cdot 5-x^{2}+{\cfrac {4\cdot 5x^{2}}{6\cdot 7-x^{2}+\ddots }}}}}}}}.$

ווײַערשטראַס פּראָדוקט (אויף ענגליש: Weierstrass Product):

${\begin{aligned}\sin(\pi z)=\pi z\prod _{n=1}^{\infty }{\Bigl (}1-{\frac {z^{2}}{n^{2}}}{\Bigr )}.\end{aligned}}$

אָט די פֹאָרעמען דערלאזן אַז דער אַרגומענט איז אַ קאָמפּלעקסע צאָל.

דער סינוס האָט די אייגנען:

$(\sin \theta )'=\cos \theta$

$\int \sin \theta \,d\theta =-\cos \theta +C$

קאָמפּלעקסער אַנאַליז

אויך, דער סינוס און קאָסינוס זײַנען אינעם באַרימטן אוילערס גלײַכונג (אויף ענגליש: Euler's formula):

$e^{ix}=\cos x+i\sin x$

טאָ, האָבן מיר די פֿאָרעמען

$\sin \theta ={\frac {e^{i\theta }-e^{-i\theta }}{2i}}$

$\cos \theta ={\frac {e^{i\theta }+e^{-i\theta }}{2}}$

פֹאַר אַלע $\theta \in \mathbb {R}$.