קאמפלעקסע צאל

א קאמפלעקסע צאָל איז א צאל וואס באשטייט פון א רעאלן און אן אימאַגינערן טייל. מען קען זי שרייבן אין דער פארעם a + bi, וואו a און b זענען רעאלע צאלן, און i איז די אימאגינערע איינהייט מיט דער אייגנשאפט i ² = −1. די קאמפלעקסע צאלן נעמען איין די רעאלע צאלן, און פארברייטערן זיי אז מען זאל קענען לייזן גלייכונגען וואס האבן נישט קיין באשייד אין רעאלע צאלן.

די טעאריע פון קאמפלעקסע צאלן איז געווארן שטארק אנגענומען צווישן מאטעמאטיקער דורך נילס הענריק אבעל, וואס האט געניצט קאמפלעקסע צאל אסאך מיט גרויסן דערפאלג.

אריינפיר

קאמפלעקסע צאלן לאזן לייזן געוויסע גלייכונגען וואס האבן נישט קיין רעאלן באשייד: די גלייכונג

$x^{2}+1=0\,$

האט נישט קיין רעאלן באשייד x, ווייל דער קוואדראט פון יעדער רעאלער צאל x איז 0 אדער פאזיטיוו, דעריבער x² + 1 קען נישט זיין נול. מיט קאמפלעקסע צאלן לייזן מען די דילעמע. מען שטעלט צו צו די רעאלע צאלן די צאל i וועמענס קוואדראט איז 1−, בכדי x = i איז א באשייד צו דער פריערדיגער גלייכונג.

דעפיניציע

א קאמפלעקסע צאָל איז אן אויסדרוק מיט דער פארעם

$a+bi\ .$

די a און b דא זענען רעאלע צאלן, און i איז א מאטעמאטישער סימבאל וואס הייסט די אימאגינערע איינהייט. למשל, ‎-3.5 + 2i איז א קאמפלעקסע צאל.

אין דער קאמפלעקסער צאל z = a + bi רופט מען a דער רעאלער טייל פון z און די רעאלע צאל b רופט מען דער אימאגינערער טייל.

קארטעזישע פֿארעם און דעפֿיניציע דורך געארדנטע פארן

א קאמפלעקסע צאל קען מען דערפאר ווערן אידענטיפיצירט מיט א געארדנטן פאר $(\operatorname {Re} (z),\operatorname {Im} (z))$ אינעם קארטעזישן פלוין; מען רופט דאס אמאל די קארטעזישע פארעם פון z. פאקטיש, קען מען דעפינירן א קאמפלעקסע צאל ווי א געארדנטער פאר (a, b) , אבער אין אזא פאל דארף מען איינשליסן די כללים פאר צוגאב און טאפלען ווי א טייל פון דער דעפיניציע.  וויליאם ראאן האמילטאן האט טאקע איינגעפירט דעם צוגאנג צו דעפינירן די קאמפלעקסע צאל סיסטעם.

אנווענדונגען

מאטעמאטיק

מען קען ניצן דעם רעזידועס־טעארעם צו לייזן רעאלע אינטעגראלן.

קאמפלעקסע צאלן אין פאלארע פארעם ניצט מען צו לייזן דיפערענציאל-גלייכונגען.

עלעקטראמאגנעטיזם

אין עלעקטרישער אינזשעניריע ניצט מען דעם פוריע טראנספארם כדי צו אנאליזירן וואריאירנדיקע וואלטאזשן און שטראמען. מען קען פאראייניקן די האנדלונג פון רעזיסטארן, קאנדענסאטארן און אינדוקטארן מיט אימאגינערע נומערן פאר די לעצטע צוויי און מען שטעלט צוזאמען אלע דריי אין איין קאמפלעקסער צאל וואס מען רופט דעם אימפעדאנץ.

א מער אבסטראקטער פארמאליזם פאר קאמפלעקסע צאל האט אנטוויקלט דער אירישער מאטעמאטיקער וויליאם ראאן האמילטאן, וואס האט פארברייטערט די אבסטראקציע צו דער טעאריע פון קוואטערניאנען.

זעט אויך

• אוילער-אידענטיטעט