לאגאריטם

דער לאגאַריטם פון א נומער איז דער פאטענץ מיט וואס א געוויסער נומער, די באזע, דארף ווערן געהעכערט צו פראדוצירן יענעם נומער. למשל, דער לאגאריטם פון 1000 צו באזע 10 איז 3, ווייל 1000 איז 10 צום פאטענץ 3: 1000 = 10 × 10 × 10 = 10³. בדרך כלל, אז x = b^y, דעמאלסט y איז דער לאגאריטם פון x צו באזע b, און מען שרייבט (y = log_b(x. אין דעם פריערדיקן ביישפיל, log₁₀(1000) = 3.

דער גראפיק פונעם לאגאריטם צו באזע 2 גייט אריבער דער x אַקס (האריזאנטאלע אַקס) ביי 1 און גייט אדורך די פונקטן מיט קאארדינאטן (2, 1), (4, 2), און (8, 3). צום ביישפיל, log₂(8) = 3, ווייל 2³ = 8. דער גראפיק ווערט וואס נענטער צו דער y אַקס, אבער דערגרייכט זי נישט און גייט נישט אריבער איר.

געזעצן פון לאגאריטמען

די געזעצן אונטן האלטן פאר יעדער $\ a,b,c$ וואס זענען פאזיטיווע רעאלע צאלן, אבער די באזע פון די לאגאריטמען קען נישט זיין 1. פראקטיש ניצט מען א באזע גרעסער פון 1.

באזונדערע ווערטן	$\ \log _{a}(1)=0$ $\ \log _{a}(a)=1$
טאפלונג, צעטיילונג און אויפהייבן צו א פאטענץ די געזעצן מאכן גרינגער אויסרעכענען טאפלונג, צעטיילונג, פאטענצן און ווארצלען, דורך א טאבעלע פון לאגאריטמען אדער א רעכנווירע.	$\ \log _{c}(a\cdot b)=\log _{c}(a)+\log _{c}(b)$ $\ \log _{c}\left({\frac {a}{b}}\right)=\log _{c}(a)-\log _{c}(b)$ $\ {\log _{a}b}\cdot {\log _{c}d}={\log _{c}b}\cdot {\log _{a}d}$ פאר יעדער רעאל $\ r$ : $\ \log _{c}(a^{r})=r\cdot \log _{c}(a)$
לאגאריטם און די עקספאנענטיעלע פונקציע מען ניצט די כללים צו לייזן גלייכונגען וואו דער אומבאשטימטער איז א פאטענץ.	$\ x^{\log _{a}b}=b^{\log _{a}x}$ $\ a^{\log _{a}b}=b$ פאר יעדער רעאל $\ r$: $\ \log _{a}a^{r}=r$
עדערן די באזע פון א לאגאריטם מען ניצט דעם כלל צו בייטן לאגאריטנמען אין א רעכנמאשינקע. רוב רעכנמאשינקעס האבן קנעפלעך פארן נאטירלעכן לאגאריטם (ln) און פארן לאגאריטם צו באזע 10 ($\ \log _{10}$), אבער נישט פאר באזע 2 ($\ \log _{2}$). כדי צו רעכענען $\ \log _{2}100$, רעכנט מען $\ {\frac {\log _{10}100}{\log _{10}2}}$ אדער $\ {\frac {\ln {100}}{\ln {2}}}$, וואס גיט דעם זעלבן רעזולטאט).	$\ \log _{a}b={\frac {\log _{c}b}{\log _{c}a}}$ $\ \log _{a}b={\frac {1}{\log _{b}a}}$
גרענעץ	ווען a > 1: $\ \lim _{x\to 0}\log _{a}(x)=-\infty$ ווען a < 1: $\ \lim _{x\to 0}\log _{a}(x)=\infty$ ווען a > 1: $\ \lim _{x\to \infty }\log _{a}(x)=\infty$ ווען a < 1: $\ \lim _{x\to \infty }\log _{a}(x)=-\infty$ $\ \lim _{x\to 0}\log _{a}(x)\cdot x^{b}=0$ $\ \lim _{x\to \infty }\log _{a}(x)/x^{b}=0$
דעריוואטיוו	$\ {d \over dx}\log _{a}(x)={1 \over x\ln(a)}={1 \over x}\cdot \log _{a}e$
אינטעגראל	$\ \int \log _{a}(x)\,dx=x\log _{a}(x)-{\frac {x}{\ln(a)}}+C$