דעריוואטיוו

אַ דעריוואַטיוו (דעריוואַט) פֿון אַ פֿונקציע איז דער באַרגנייג אויף דער באַריר־ליניע בײַ א פֿונקט. א דעריוואַטיוו באַשרײַבט די וואַקסיקייט פון אַ פֿונקציע. דער היפּוך פֿון א דעריוואַטיוו איז אַן אינטעגראל. דער דעריוואַטיוו ווערט געפֿונען געוויינטלעך אין מאַטעמאַטיק און פֿיזיק.

אַ פֿונקציע (שוואַרץ) מיט זײַן באַריר־לינע (רויט). דער באַרגנייג פֿון דער באַריר־לינע איז דער דעריוואַטיוו.

אין פֿיזיק, דער דעריוואַטיוו פֿון פּאָזיציע איז גיכקייט, און דער דעריוואַטיוו פֿון גיכקייט איז פֿאַרגיכערונג.

דעפֿיניציע

א שנײַדליניע ווערט א באַריר־ליניע ווען $\Delta x\to 0$.

דערמאַנט זיך אַז די פֿונקציע פאַר אַ גראָדער ליניע איז $y(x)=ax+b$. דער וואַריאבל $a$ איז דער באַרגנייג פון דער לינע, ד"ה ווען $x_{1}\neq x_{2}$:

${\begin{aligned}a&={\frac {y(x_{2})-y(x_{1})}{x_{2}-x_{1}}}\\&={\frac {\Delta y}{\Delta x}}\end{aligned}}$

דעריבער א שנײַדלינע (secant) וואָס שנײַדט זיך איבער א פֿונקצע $f(x)$ בײַ $x=x_{1}$ און $x=x_{2}$ האָט דעם באַרגנייג

${\begin{aligned}a(x_{1},x_{2})&={\frac {f(x_{2})-f(x_{1})}{x_{2}-x_{1}}}\end{aligned}}$

ווען $x_{1},x_{2}$ זענעך נאָענט איז $a(x_{1},x_{2})$ בערך דער באַרגנייג אויף דער באַריר־לינע. באַניצנדיק קאַלקולוס קענען מיר ניצן א גרעניץ כּדי גורם זײַן $x_{2}\to x_{1}$. בכן איז $a=a(x_{1})$ אַן איינבאַטרעפֿיקע פֿונקציע. מ'רופֿט $a(x)$ דעם דעריוואַטיוו פֿון $f(x)$.

דער דעריוואַטיוו ווערט אָנגעשריבן אין מאַטעמאַטישער נאָטאַציע ווי $f'(x)$ צי ${\frac {d}{dx}}f(x)$. טאָ מע שרײַבט:

${\begin{aligned}f'(x)&=\lim _{x_{2}\to x}{\frac {f(x)-f(x_{2})}{x-x_{2}}}\\&=\lim _{h\to 0}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}\end{aligned}}$

די לעצטע שורה ניצט דעם אונטערשטעל $x-x_{2}=h$.

דעריוואַטיוו טעאָרעמען

פאַראַן כּלערליי כּללים וואָס העלפֿן אונדז צו געפֿינען דעם דעריוואַטיוו.

כּפֿלען מיט א שטענדיקער גרייס

אויב מיר ווילן דיפֿערענצירן א פֿונקציע מאָל אַ שטענדיקע גרייס:

${\begin{aligned}{\frac {d}{dx}}(cf(x))=cf'(x)\end{aligned}}$

סך־הכּל־כּלל

אויב מיר ווילן דיפֿערענצירן א פֿונקציע פּלוס אַ פֿונקציע ניצט מען דעם סך־הכּל־כּלל:

${\begin{aligned}{\frac {d}{dx}}\left(f(x)+g(x)\right)=f'(x)+g'(x)\end{aligned}}$

קייט־כּלל

אויב מיר ווילן דיפערענצירן א פֿונקציע פֿון א פֿונקציע ניצט מען דעם קייט־כּלל:

${\begin{aligned}{\frac {d}{dx}}f(g(x))=f'(g(x))g'(x)\end{aligned}}$

פּראָדוקט־כּלל

אויב מיר ווילן דיפערענצירן אַ פראָדוקט פֿון צוויי פֿונקציעס ניצט מען דעם פּראָדוקט־כּלל:

${\begin{aligned}{\frac {d}{dx}}f(x)g(x)=f'(x)g(x)+g'(x)f(x)\end{aligned}}$

בײַשפּילן

קוואַדראַטישע פֿונקציע

בדרך משל לאָמיר דיפערענצירן א פראָסטע פֿונקציע $f(x)=x^{2}$ (קוואַדראַטישע פֿונקציע) ניצנדיק דער דעפֿיניציע

${\begin{aligned}{\frac {d}{dx}}x^{2}&=\lim _{h\to 0}{\frac {(x+h)^{2}-x^{2}}{h}}\\\ &=\lim _{h\to 0}{\frac {(x^{2}+2xh+h^{2})-x^{2}}{h}}\\\ &=\lim _{h\to 0}{\frac {2xh+h^{2}}{h}}\\\ &=\lim _{h\to 0}(2x+h)\\\ &=2x\end{aligned}}$

אָדער זינט ${\frac {d}{dx}}x=1$ (זעט „דעפֿיניציע“ אין דער הייך), פּראָדוקט־כּלל באַווייזט

${\begin{aligned}{\frac {d}{dx}}x^{2}&={\frac {d}{dx}}(x\cdot x)\\\ &=\left({\frac {d}{dx}}x\right)x+x\left({\frac {d}{dx}}x\right)\\\ &=(1)x+x(1)\\\ &=2x\\\end{aligned}}$

קוואַדראַט־וואָרצל

${\begin{aligned}{\frac {d}{dx}}{\sqrt {x}}&=\lim _{h\to 0}{\frac {{\sqrt {x+h}}-{\sqrt {x}}}{h}}\\\ &=\lim _{h\to 0}\left({\frac {{\sqrt {x+h}}-{\sqrt {x}}}{h}}\cdot {\frac {{\sqrt {x+h}}+{\sqrt {x}}}{{\sqrt {x+h}}+{\sqrt {x}}}}\right)\\\ &=\lim _{h\to 0}{\frac {x+h-x}{h({\sqrt {x+h}}+{\sqrt {x}})}}\\\ &=\lim _{h\to 0}{\frac {1}{{\sqrt {x+h}}+{\sqrt {x}}}}\\\ &={\frac {1}{2{\sqrt {x}}}}\\\end{aligned}}$