אונטערשייד צווישן ווערסיעס פון "גרופע טעאריע"

אינהאַלט אויסגעמעקט אינהאַלט צוגעלייגט
אינטערוויקי
אין תקציר עריכה
שורה 2:
 
==דעפיניציע==
א גרופע איז א [[סכום]] (זאמלונג) ''G'' וואס זיינע מיטגלידער רופט מען ''עלעמענטן''. די עלעמענטן קענען זיי וואספארא נומערן, אדער אנדערע אבסטראקטע אביעקטן. ס'איז אויך פאראן א ''בינארישע אפעראציע'' וואס קאמבינירט וועלכע צוויי עלעמענטן פון ''G'' און דער רעזולטאט איז אויך אן עלעמענט פון ''G''. דער רעזולטאט קען זיין אנדערש ווי די ערשטע צוויי עלעמענטן, אדער איינער פון זיי.<!-- Toכדי be''G'' aמיט גרופע,דער theאפעראציע followingזאל fourזיין conditionsא mustגרופע, beדארפן trueדי ofפאלגנדע ''G''פיר andבאדינגען the operation defined over ''G''האלטן:
 
*''פארשליסונג'': ווען די אפעראציע ווערט געניצט אויף צוויי עלעמענטן אין דער גרופע, איז דער רעזולטאט עלעמענט אויך א מיטגליד אין דער גרופע:
**פאר יעדע ''a'', ''b'' אין ''G'', דער רעזולטאט פון דער אפעראציע ''a'' • ''b'' איז אויך אין ''G''.
*''אַסאציאטיוויטעט'': ווען מען ווענדט די אפעראציע מערערע מאל, עס ארט נישט אין וועלכן סדר מען רעכנט, קומט אויס אלעמאל דעם זעלבן רעזולטאט:
**Forפאר allיעדן ''a'', ''b'' andאון ''c'' inאין ''G'', theהאלט equationדי גלייכונג (''a'' • ''b'') • ''c'' = ''a'' • (''b'' • ''c'') holds.
*''אידענטיטעט עלעמענט'': איין עלעמענט פון דער גרופע איז באזונדער. ער הייסט דער אידענטיטעט עלעמענט. ווען די אפעראציע ווערט געניצט מיטן אידענטיטעט עלעמענט און אן אנדער עלעמענט, דער אנדער עלעמענט ווערט נישט געענדערט:
**ס'עקזיסטירט אן עלעמענט ''e'' אין ''G'', אז פאר יעדן עלעמענט ''a'' אין ''G'', האלט די גלייכונג {{נישט וויקלען|1=''e'' • ''a'' = ''a'' • ''e'' = ''a''}} .
*''אינווערסער עלעמענט'': יעדער עלעמענט אין דער גרופע האט אן עלעמענט אין דער גרופע וואס, ווען די אפעראציע ווערט דורכגעפירט צווישן זיי, איז דער רעזולטאט דער אידענטיטעט עלעמענט. מען רופט יענעם עלעמענט זיין אינווערס:
**Forפאר eachיעדן ''a'' inאין ''G'', thereס'עקזיסטירט existsאן an elementעלעמענט ''b'' inאין ''G'' such thatאז ''a'' • ''b'' = ''b'' • ''a'' = ''e'', whereוואו ''e'' isאיז theדער identityאינדענטיטעט elementעלעמענט.
 
*''Closure'': It is required to check if the suggested operation is actually an operation on the set. If an operation is used on any elements in the גרופע, the element that is formed will also be part of the גרופע.
**For all ''a'', ''b'' in ''G'', the result of the operation ''a'' • ''b'' is also in ''G''.
*''Identity element'': One element of the גרופע is special. It is called the identity element. If the operation is used with the identity element and another element, the other element will not change.
**There exists an element ''e'' in ''G'', such that for all elements ''a'' in ''G'', the equation {{nowrap begin}}''e'' • ''a'' = ''a'' • ''e'' = ''a''{{nowrap end}} holds.
*''Associativity'': When there are many operations, it does not matter in what order they are done, the result will be the same.
**For all ''a'', ''b'' and ''c'' in ''G'', the equation (''a'' • ''b'') • ''c'' = ''a'' • (''b'' • ''c'') holds.
*''Inverse element'': Every element in the גרופע has another element in the גרופע when the operation is performed between them, the result is the identity element. This is known as its inverse.
**For each ''a'' in ''G'', there exists an element ''b'' in ''G'' such that ''a'' • ''b'' = ''b'' • ''a'' = ''e'', where ''e'' is the identity element.
-->
[[קאַטעגאָריע:אלגעברע]]
[[en:Group theory]]